概念

• 把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)。
• 分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
• 分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
• 实际上就是类似于数学归纳法，找到解决本问题的求解方程公式，然后根据方程公式设计递归程序。
  1. 一定是先找到最小问题规模时的求解方法
  2. 然后考虑随着问题规模增大时的求解方法
  3. 找到求解的递归函数式后（各种规模或因子），设计递归程序即可。

应用场景

• 分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：

  1. 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决
  2. 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
  3. 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；
  4. 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子子问题。

• 第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；

• 第二条特征是应用分治法的前提它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；、

• 第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。

• 第四条特征涉及到分治法的效率，如果各子问题是不独立的则分治法要做许多不必要的工作，重复地解公共的子问题，此时虽然可用分治法，但一般用动态规划法较好。

分治的基本步骤

• 分治法在每一层递归上都有三个步骤：
  • step1 分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独立，与原问题形式相同的子问题；
  • step2 解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，否则递归地解各个子问题
  • step3 合并：将各个子问题的解合并为原问题的解。

可使用分治法求解的一些经典问题

1. 二分搜索

2. 大整数乘法

3. Strassen矩阵乘法

4. 棋盘覆盖

5. 合并排序

6. 快速排序

7. 线性时间选择

8. 最接近点对问题

9. 循环赛日程表

示例